A部分：从狭缝到晶体（5.0分）

A.1（0.3分）

问题中给出了散射向量q的表达式。

q = 2ki sin(θ/2) (A1)

式中，波矢为

，λ为波长，θ为衍射角，可以认为远小于1（题中给出的条件），则

q ≈ kiθ = (2π/λ)θ (A2)

所以 q ≪ ki

题中还给出了光强度I取决于光衍射角θ的公式【原文中的公式(4)，本文重新编号为(A3)】

(A3)

式中，I0为θ=0时的光强，N为光栅狭缝数。

当θ很小时，

(A4)

将(A2)代入(A4)，可得I(θ)的表达式为：

(A5)

A.2(0.2分)

对于光栅常数为a的衍射光栅，光栅衍射方程为

a sin θ = hλ, h ∈Z (A6)

小角度近似，有

aθ = hλ (A7)

将(A7)代入(A2)，可得第h衍射最大散射矢量的表达式为：

q =( 2π/a)h, (A8)

A.3（0.2分）

利用式(A8)可得：

q = q1h, h ∈Z (A9)

q1a = 2π (A10)

q1 是具有最大一阶衍射的散射矢量。

A.4（1.0分）

使用问题中提供的实验设备搭建实验装置，用激光照射样品，在观察屏上分析衍射斑。 由于衍射角θ可以被认为远小于1（问题中给出的条件），使用A9和A10我们可以得到：

q1 = (2π/λ)(SN/NL) (A11)

其中，SN为0级衍射最大值到N级衍射最大值的距离，L为样品DG到观察屏的距离。 利用公式A10和A11，通过测量SN和L可得：

DG1：q1=320±32mm-1，a=20±2μm

DG2：q1=130±13mm-1，a=50±5μm

DG3：q1=79±8mm-1，a=80±8μm

DG4：q1=79±8mm-1，a=80±8μm

DG5：q1=79±8mm-1，a=80±8μm

A.5（1.5分）

利用A.1得到的公式A5，我们可以推导出：

(A12)

I的最大值取决于h，可以通过测量两个不同的衍射最大值（例如1阶和2阶）来获得：

(A13)

其中，I(1)和I(2)分别为1阶和2阶衍射极大值的光强。 它们是通过实验测量的。 将它们的测量值带入A13，即可计算出a/b。 结果如下：

DG1：a/b = 2

DG2：a/b = 4

DG3: a/b ∈[7,10]

DG4: a/b ∈[3.2,4.8]

DG5: a/b ∈[1.5,2.5]

A.6（0.7分）

问题中提供了结构因子的表达式：

F(q)~∫ρ(x)exp (iqx)dx (A14)

ρ(x)的表达式可以直接从问题给出的图1中得到：

(A15)

将ρ(x)代入结构因子的表达式可得：

(A16)

式中，p = a/b，强度为0时的最大h满足：h = ±pm, m∈N

A.7(0.7分)

采用与A.6相同的方法，可得图1中晶胞B的ρ(x)表达式：

(A17)

还可得到晶胞B的结构因子FB(h)：

(A18)

强度为 0 时的最大 h 满足： h = ±pm, m∈N

A.8(0.4分)

用相同的光照射图1中的两个光栅。利用公式A16和A18，可以得到光强比为：

(A19)

图 1 一维晶体的晶胞。 黑色区域是不透明区域。

对 A 部分的评论

A部分主要研究一维晶体衍射最基本的定律。 本题通过观察衍射光栅的衍射现象来研究一维晶体的相关参数。 题目涉及的实验操作并不复杂，但有很多公式推导和计算，并且后面的题目中经常会用到前面题目的结果。 如果前面的题有错误，那么后面的题的推导结果就会错误。 因此，在做题的过程中，一定要细心，掌握题目中给出的公式、定义和提示信息。

B部分：二维晶体（5.0分）

B.1（1.0分）

可以通过分析二维晶体结构得到（问题中提供的图2）

和

长度为：

|q1|=2π/(a2sinα),|q2| =2π/(a1sinα)

或 |q1|=2π/(a1sinα), |q2|=2π/(a2sinα) (B1)

q1 和 q2 之间的角度为 β = α

图2取

和

作为具有晶格向量的二维晶体，​​这些点代表晶体中原子的位置

B.2(0.5分)

根据公式A14和A16，如果透光区域和不透光区域互换，则除中心衍射斑（h=0，k=0）外的衍射结构因子的模式相等，因此二维晶体的结构因子A可推导出：

(B2)

(B3)

晶体D的结构因子可以通过对晶体A进行变换得到，可以通过晶体A的结构因子表达式乘以[1+eiπ(h+k)]得到。

B.3(0.6分)

该题需要分析样品的衍射图样，并通过实验确定样品的晶格周期。 这需要使用与A.4相同的实验光路来观察样品衍射图样。 可以观察到类似图4的衍射图样，通过测量衍射图样中的光斑距离，可以求出衍射矢量和晶体周期，求出样品的晶体周期为：

UC1=30μm

UC2=20μm

aUC3 = 20μm

aUC4 = 30μm

B.4(0.4分)

通过观察样品的衍射图、有无衍射斑点、斑点强度以及B.3中得到的晶体周期，可以判断UC1-UC4对应的晶体结构为：

UC1-B

UC2-A

UC3-D

UC4-C

B.5(0.8分)

要确定不透明区域的边长b，可以使用类似于A.5的方法。 利用样品UC1的实验结果，可以得到：b=10μm。

B.6（1.2分）

该题要求通过实验确定每个样本的参数a1、a2和角度α（图2）。 首先，搭建实验装置并观察样品UC5、UC6和UC7的衍射图样。 可以看出UC5的衍射图样呈矩形排列，UC6和UC7呈平行四边形排列，如图3所示。通过测量和计算，可以得到每个样品的参数a1、a2和角度α作为：

UC5：a1=20μm，a2=40μm，α=90°

UC6：a1=36.1μm，a2=22.4μm，α=63°

UC7：a1=40μm，a2=36μm，α=56°

图3 样品UC6和UC7的衍射图案

对 B 部分的评论

B部分主要研究二维晶体的相关参数。 实验采用与A.4相同的实验方案，观察不同样品的衍射图样。 通过分析衍射图样和测量二维衍射斑距离等参数，可以确定各种未知样品的晶体参数，以及它们与问题中给出的晶胞的对应关系。

C 部分：晶体的对称性（5.0 分）

C.1(0.3分)

根据旋转对称的定义和问题中给出的二维晶体衍射图（问题已给出，图4），可以很容易确定旋转中心：h=0，k=0。旋转对称阶数m =1,2,4。 所有对称轴均在图 4 中标记。

图4 对称轴标注图

C.2(0.2分)

本题要求写出图4中画出的各镜像对称轴的直线方程。对称轴是一条直线，可以表示为直线方程：c1∙qx + c2∙qy = d。 图4中镜面对称轴的方程为：

1：qy = 0 (C1)

2: qy = qx (C2)

3：qx = 0（C3）

4: qy = -qx (C4)

C.3(0.4分)

通过分析衍射图样（图4），可以得到每个旋转对称强度I(qx,qy)满足方程：

C1: I (qx,qy )= I(qx,qy) (C5)

C2: I (qx,qy )= I(-qx, -qy) (C6)

C4: I(qx,qy) = I(-qy,qx) (C7)

每个镜像对称强度 I(qx,qy) 满足方程：

qy = 0: I (qx,qy )= I(qx, -qy) (C8)

qx = 0: I (qx,qy )= I(-qx,qy) (C9)

qy = qx: I (qx,qy ) = I(qx,qy) (C10)

qx = -qy: I (qx,qy )= I(-qy, -qx) (C11)

C.4(0.2分)

因为ρ(x) ∈R（问题中给出），结构因子有以下关系：

(C12)

这里F*是F的复共轭，可以从C12推导出来：

I (-h, -k) = F(-h, -k)F*(-h, -k)

= F(h,k)F*(h,k) = I (h,k) (C13)

相应的对称性是C2。

C.5(0.4分)

为了用晶体1的结构因子来表示其他晶体的结构因子，我们可以首先假设晶体1的结构因子为：

(C14)

根据对称性，将晶体1的x=0轴进行变换，可得到晶体2，ρ2(x,y)=ρ(-x,y)，晶体2的结构因子为：

(C15)

将晶体1的x=y轴进行变换，可得到晶体3，ρ3(x,y)=ρ(y,x)，晶体3的结构因子为：

(C16)

将晶体1平移即可得到晶体4。假设平移向量为(x1,y1)，ρ4(x',y')=ρ(x+x1,y+y1)，晶体的结构因子4 是：

(C17)

C.6(0.5分)

要分析任何二维晶体的旋转对称性，您可以假设图 5 中的 A 和 B 是两个最近的点，

。

图5 对称旋转示意图

如果晶体具有m级旋转对称性，如果绕A旋转θ=2π/m，则B点旋转到C点，同样可以用同样的方法从A点旋转到D点。由于所有点是等价的，所以

,n∈Z。 所以：

余弦θ = (1 –n)/2(C18)

n、cosθ、θ、m的可能值如表1所示：

表1 n、cosθ、θ、m值

因此所有可能的旋转对称性为：C1、C2、C3、C4、C6。

C.7(0.9分)

晶胞为 K、L、M、N、P、Q、R、S 和 T 的晶体的对称图如图 6 所示。图中已标出了旋转对称性。

图6 晶胞对称性示意图

C.8(0.8分)

样品PG1、2、5和8分别对应于图6中的晶胞K、L、M和N。为了确定对应关系，需要通过实验分析它们的衍射图案。 表2显示了样品PG1、2、5和8的衍射图样的观察到的对称性。表中的“+”表示样品具有相应的对称性。 对于样品PG1，理论上存在对称轴qx=0，但实际的衍射图可能观察不到。

表2 样品PG1、2、5、8的衍射图对称性

因为PG1有qy = 0轴对称性，所以根据图6对应L。PG2不具备上述对称性，所以对应M。PG5有两个对称轴，所以对应N。所有样本和的对应关系晶胞关系为：

PG1-L

PG2-M

PG5-N

PG8-K

C.9（1.0分）

样品 PG3、4、6、7 和 9 对应于图 6 中的晶胞 P、Q、R、S 和 T。为了确定对应关系，需要通过实验分析它们的衍射图。 表3显示了样品PG3、4、6、7和9的衍射图样的观察到的对称性。表中的“+”表示样品具有相应的对称性。

表3 样品PG3、4、6、7、9的衍射图对称性

PG4和PG6的衍射图样具有C4对称性（如晶胞R、T），而其他则没有。 在这组样品中，对称性不足以匹配晶胞和衍射图案。 我们需要使用加法规则并了解晶胞 S 和 T 的缺失。

对于S晶胞，标记不透明单元，如图6所示。单元1的结构因子用F(h,k)表示。 采用C.5的解题方法，可得其他单元的结构因子表达式为：

f1(h,k) = F(h,k) (C19)

f2(h,k) = F(-h,-k)ei5πh/7 (C20)

f3(h,k) = F(-h,k) e-iπ(2h/7+ h)(C21)

f4(h,k) = F(h,-k)e-iπ(h + k) (C22)

S晶胞的结构因子是以上各项的总和。 对于 h = 0 的衍射斑：

fs (0,k) = (1 + cos(πk))(F(0,k) + F(0,-k)) (C23)

当 h = 0 时，当 k 为奇数时，衍射斑点将丢失。 还可以推论，当k=0时，当h为奇数时，衍射斑点将丢失。 只有PG6和PG9在衍射图案中具有这种特征。 因为 PG6 对应于晶胞 R 或 T，所以 PG9 对应于 S。

对晶胞T采用同样的方法，可得单元结构因子的表达式为：

f1 + f5 = F(h,k) + F(k,h)e-iπ(h + k) (C24)

f2 + f6 = F(k,-h) + F(h,-k)e-iπ(h -k) (C25)

f3 + f7 = F(-h,-k) + F(-k,-h)e-iπ(-h -k) (C26)

f4 + f8 = F(-k,h) + F(-h,k)e-iπ(-h + k) (C27)

对于h=0的衍射斑有：

fT (0,k) = (1 + cos(πk))(F(0,k) + F(k,0)+F(0,-k) + F(-k,0)) (C28)

当h=0时，当k为奇数时，衍射斑点将丢失。 还可以推论，当k=0时，当h为奇数时，衍射斑点将丢失。 PG6衍射图样具有这样的特性，因此PG6对应于T，因此PG4对应于R。PG3衍射图样具有对称轴，对应于P，PG7对应于Q。

C.10（0.3分）

为了判断样品UC8是否为晶体，需要通过实验观察UC8的衍射图样，并确定其衍射图样的对称性。 通过实验发现UC8具有C5对称性，根据C.6的结果，该晶体所有可能的旋转对称性为：C1、C2、C3、C4、C6，因此UC8不可能是晶体。

对 C 部分的评论

C部分主要研究晶体中的晶胞对称性。 本题主要研究镜像对称和旋转对称。 C.1~C.7为衍射图样和晶体结构的对称性分析和公式推导。 它们不涉及实验操作。 在解决问题的过程中，必须利用问题中给出的对称性和对称性。 结构因素的定义。 C.8~C.10是通过实验观察样品的衍射图样，通过分析衍射图样的对称性来确定样品对应的晶胞类型。 在求解问题的过程中，必须利用晶胞对称性带来的相互对称性和系统性。 缺失和添加规则。

D 部分：阶段问题（5.0 分）

D.1（1.0分）

本题要求用强度为 I0 的入射光照射晶体 MR0 或 MR2，求出 0 级衍射斑的强度。 由于0级衍射斑的强度E与透光面积成正比，而光强I是场强的平方，因此我们可以得到以下两个公式：

E =( / 纳尔)E0 (D1)

I =(/纳尔)2I0(D2)

其中Nall和Nall分别是透明块的数量和块的总数。 MR0和MR2的透明方块数量分别为5和7。 利用公式D2，0级衍射斑的强度可计算为：

IMR0 = (5/16)2I0 (D3)

IMR2 = (7/16)2I0 (D4)

D.2(2.0分)

为了确定MR1的晶胞结构，需要通过实验测量MR1衍射斑强度I(h,k)，|h| ≤ 2, |k | ≤2。测量结果如图7所示。

图7 MR1衍射斑强度

通过傅里叶逆变换我们可以得到：

(D5)

由于 ρ(χ,γ) 是实数，因此仅计算实部就足够了。

(D6)

通过D6计算可以得到晶胞的振幅透过率，如图8所示。透过率较小的地方为不透明区域，透过率较大的地方为透光区域。 根据图8可以判断MR1的晶胞应为X。

图8 MR1透过率

图9 X晶胞

D.3（2.0分）

该问题需要确定 MR2 的晶胞结构。 求解时，可以采用与D.2相同的方法，得到MR2的衍射光斑强度和透过率，如图10和图11所示。

图10 MR2衍射斑强度

图11 MR2透过率

问题提示，与MR0相比，MR2只有两个不透明的方块变成了透明的方块。 通过与MRO比较，可以发现MR2在(0, 2)和(3, 0)两个位置处变得透明。 ，所以MR2的结构如图12所示。

图12 MR2晶胞结构

D 部分评论

D部分主要研究相位问题。 本题主要利用已知结构的MR0晶胞来确定未知晶胞的结构。 在解决问题的过程中，需要通过实验测量衍射斑的强度分布，然后将其转换为透射率分布。 MR1和MR2的结构可以通过与已知的晶胞结构进行比较来确定。

本题利用晶体的周期性，通过衍射来研究晶体结构。 试题通过研究晶胞的参数、晶胞的对称性和相位来确定晶体的结构。 试题包括大量的理论分析和公式推导。 试题量大，考查的内容和知识点全面，有一定的难度。

回王伟松峰

南开大学物理科学学院

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